/MAT/LAW101

ブロックフォーマットキーワードこの材料則は、時間 / 依存性熱可塑性ポリマー材料モデルであり、物理ベースのマルチスケール内部状態変数による熱力学的手法を使用しています。この材料則はソリッド要素にのみ有効です。

フォーマット

(1)	(3)	(5)	(7)
/MAT/LAW101/`mat_ID`/`unit_ID`
`mat_title`
$ρ_{i}$
$E_{r e f}$	`E`₁	$ν$	$V E_{1}$
$V E_{2}$	${\dot{ε}}_{r e f}$	${\dot{γ}}_{0}^{p}$	$α_{p}$
$Δ H$	$V$	$m$	`C`₃
`C`₄	$α_{k 1}$	$α_{k 2}$	$h_{0}$
${\bar{z}}_{1 i}$	`C`₅	`C`₆	`C`₇
`C`₈	`C`₉	`C`₁₀	$h_{1}$
${\bar{z}}_{2 i}$	`C`₁₁	`C`₁₂	`C`₁₃
`C`₁₄	`C`₁	`C`₂	$λ_{L}$
$ρ (θ_{r e f})$	$c_{v} (θ_{r e f})$	$θ_{r e f}$	$α_{t h}$
$θ_{g l a s s}$	$ω$	$θ_{f l a g}$	$θ_{i}$

定義

フィールド	内容	SI単位の例
`mat_ID`	材料識別子（整数、最大10桁）
`unit_ID`	単位識別子。（整数、最大10桁）
`mat_title`	材料のタイトル（文字、最大100文字）
$ρ_{i}$	初期密度（実数）	$[\frac{kg}{m^{3}}]$
$E_{r e f}$	参照温度におけるヤング率。 6 （実数）	$[Pa]$
`E`₁	材料パラメータ 6 （実数）	$[\frac{Pa}{K}]$
$ν$	ポアソン比（実数）
`VE`₁, `VE`₂	温度依存のヤング率の材料パラメータ。 6 （実数）
${\dot{ε}}_{r e f}$	温度依存のヤング率の材料パラメータ。 6 （実数）	$[\frac{1}{s}]$
${\dot{γ}}_{0}^{p}$	粘性流。 8 （実数）	$[\frac{1}{s}]$
$α_{p}$	圧力感度パラメータ。 8 （実数）
$Δ H$	アクティブ化エネルギー。 8 モデルで使用している単位に関係なく、アクティブ化エネルギーは必ず $[\frac{k J}{m o l}]$ として入力されます。（実数）	$[\frac{J}{m o l}]$
`V`	アクティブ化体積。 8 （実数）	$[m^{3}]$
`m`	粘性流指数。 8 （実数）
`C`₃	材料パラメータ 8 （実数）	$[\frac{Pa}{K}]$
`C`₄	材料パラメータ 8 （実数）	$[Pa]$
$α_{k 1}$ 、 $α_{k 2}$	材料パラメータ 7 （実数）
$h_{0}$	硬化係数。 7 （実数）
${\bar{z}}_{1 i}$	状態変数の初期値 ${\bar{z}}_{1}$ 。 7 （実数）
${\bar{z}}_{2 i}$	状態変数の初期値 ${\bar{z}}_{2}$ 。 7 （実数）
`C`₅	材料パラメータ 7 （実数）	$[\frac{1}{K}]$
`C`₆	材料パラメータ 7 （実数）
`C`₇	材料パラメータ 7 （実数）	$[\frac{1}{K}]$
`C`₈	材料パラメータ 7 （実数）
`C`₉	材料パラメータ 7 （実数）	$[\frac{1}{K}]$
`C`₁₀	材料パラメータ 7 （実数）
$h_{1}$	硬化係数。 7 （実数）
`C`₁₁	材料パラメータ 7 （実数）	$[\frac{1}{K}]$
`C`₁₂	材料パラメータ 7 （実数）
`C`₁₃	材料パラメータ 7 （実数）	$[\frac{1}{K}]$
`C`₁₄	材料パラメータ 7 （実数）
`C`₁	材料パラメータ 7 （実数）	$[\frac{Pa}{K}]$
`C`₂	材料パラメータ 7 （実数）	$[Pa]$
$λ_{L}$	ネットワークロッキングストレッチ。 7 （実数）
$ρ (θ_{r e f})$	参照温度における密度。 9 （実数）	$[\frac{kg}{m^{3}}]$
$c_{v} (θ_{r e f})$	参照温度における熱容量。 9 （実数）	$[\frac{J}{K}]$
$θ_{r e f}$	参照温度。（実数）	$[K]$
$α_{t h}$	熱膨張。（実数）	$[\frac{1}{K}]$
$θ_{g l a s s}$	ガラスの遷移温度。 9 （実数）	$[K]$
$ω$	断熱条件を設定している状態で材料温度の計算に使用する変換係数。 9 （実数）
$θ_{f l a g}$	温度アクティブ化フラグ。 = 0.0 等温条件（温度= $θ_{i}$ ）。 = 1.0 熱機械問題。 = 2.0 断熱条件（初期温度= $θ_{i}$ ）。（実数）
$θ_{i}$	初期温度（実数）	$[K]$

例

#RADIOSS STARTER
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/UNIT/1
unit for mat
                  kg                  mm                  ms
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/MAT/LAW101/1/1
Talc filled Polypropylene
#              RHO_I
            9.05E-3
#               EREF                  E1                  Nu                 VE1
              2700.0                                  0.2600              0.0E-1
#                VE2            EDOT_REF        GAMA_DOT_REF              ALPHAP
              1.0E-2               1.0E3           3.464E+18            8.313E-2
#            delta_H                   V                   m                  C3
            109000.0           1.325E-27               5.000            
#                 C4             ALPHAK1             ALPHAK2                  H0
                  12              1.0E-2                 0.0                  40
#            ZETA1_i                  C5                  C6                  C7
               0.000             -9.0E-3              0.6600                   0  
#                 C8                  C9                 C10                  h1
               0.200              -0.300               6.700               0.000
#            ZETA2_i                 C11                 C12                 C13
               0.000                 0.0              12.000             -7.0E-3
#                C14                  C1                  C2            LAMBDA_L
               0.600             -0.1000               8.000               4.800
#        RHO_theta_0          CV_theta_0              THETA0            ALPHA_TH
            9.05E-10               2.0E9             298.000             7.70E-5
#        THETA_GLASS         TEMP_FACTOR          THETA_FLAG              THETAi
             373.000               0.000               0.000             298.000
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#enddata

この材料は、Lagrange型全ひずみを有するソリッド要素でのみ互換性があります。ひずみ定式化フラグは、/PROP/SOLIDでI_smstr＝10がデフォルトです。
この材料則では計算コストが高くなります。ただし、ポリプロピレン材料では、このモデルできわめて優れた結果が得られます。
このモデルは、Bouvard¹によって提唱されている熱力学のフレームワークに基づくモデルです。このフレームワークでは、重合鎖の変形の基礎となる物理学を正確に記述するために、物理ベースの内部状態変数（ISV）が選択されています。これらのISVは、ポリマーネットワークの現在のエネルギー状態を記述する値であり、ヘルムホルツの自由エネルギーで使用されています。このモデルでは、次の3つのISVを使用しています。

${\bar{z}}_{1}$

エンタングルメント点によって誘導される、内部ひずみ類似のスカラー。エンタングルメント点は、鎖の運動に対する障害の一種を記述します。鎖のエンタングルメントでは、一定量の応力における滑りによってひずみ軟化が発生します（図 1参照）。

${\bar{z}}_{2}$

大きなひずみの下で鎖に発生する整列とコイル化に伴う、内部ひずみ類似のスカラーであって、材料硬化の原因となるもの。

$β$

大きなひずみの下で発生する鎖配向と鎖のストレッチに伴う、内部ひずみ類似のテンソルであって、材料硬化の原因となるもの。

図 1. 全変形勾配の分解

この問題の動力学の記述は、変形勾配を弾性成分、粘塑性成分、等方性成分、熱的成分に分解することを基本としています。(1)
$F = F^{e} F^{p} F^{θ}$
このモデルでは、 $J^{p} = 1$ となる非圧縮性塑性流を考慮します。 $F^{e} = R^{e} U^{e}$ および弾性対数ひずみテンソル $E^{e} = \ln U^{e}$ を考慮すると、Mandel応力テンソル $M$ は次の式で計算できます。(2)
$M = 2 μ (θ) E^{e} + (K (θ) - \frac{2}{3} μ (θ)) t r (E^{e}) I$

ここで、(3)
$μ (θ) = \frac{E (θ)}{2 + 2 ν}$

また、(4)
$K (θ) = 2 μ (θ) \frac{1 + ν}{3 (1 - 2 ν)}$

ここで、

$E (θ)$

ヤング率

$ν$

ポアソン比

$K (θ)$

体積弾性率

$μ (θ)$

せん断率
Cauchy応力テンソル $σ$ は、次のようにMandel応力から求めることができます。(5)
$σ = J^{e}^{- 1} R^{e} M R^{e}^{T}$

$F^{p}$ の発展方程式を記述する粘塑性流動則は次のようになります。(6)
${\dot{F}}^{p} = D^{p} F^{p}$

ここで、(7)
$D^{p} = \frac{1}{\sqrt{2}} {\dot{γ}}^{p} N^{p}$

ここで、

$N^{p}$

粘性流の方向。

$d e v$

テンソルの偏差部分。

(8)
$N^{p} = \frac{d e v (M - α)}{‖ d e v (M - α) ‖}$

テンソル $α$ は、ひずみ類似のテンソル $β$ に対応する応力類似のテンソルであり、大変形の下での鎖のストレッチを表します。粘性流は次の式で求められます。(9)
${\dot{γ}}^{p} = {\dot{γ}}_{0}^{p} \times e^{- \frac{Δ H}{R θ}} {[\sinh (\frac{τ_{e q} V}{k_{B} θ})]}^{m}$

ここで、

${\dot{γ}}^{p}$

粘性せん断ひずみ速度。

$τ_{e q}$

塑性せん断応力の大きさ。

最後に、内部状態変数の発展則は次のようになります。(10)
${\dot{\bar{z}}}_{1} = h_{0} (1 - \frac{{\bar{z}}_{1}}{z *}) {\dot{γ}}^{p}$
(11)
${\dot{z}}^{*} = ({\bar{z}}_{s a t}^{*} - g_{0} (θ) z^{*}) {\dot{γ}}^{p}$
(12)
${\dot{\bar{z}}}_{2} = h_{1} (λ^{p} - 1) (1 - \frac{{\bar{z}}_{2}}{z_{2 s a t} (θ)}) {\dot{γ}}^{p}$

そして(13)
$\dot{β} = R_{s} (θ) (D^{p}_{} β + β D^{p}_{})$
温度の関数としたヤング率は次のようになります。(14)
$E (θ) = [E_{r e f} + E_{1} (θ - θ_{r e f})] [1 + \frac{V E_{1}}{1 + \exp (- \frac{\log \dot{ε} - \log {\dot{ε}}_{r e f}}{V E_{2}})}]$

内部状態変数（ISV）：

ISV1	ISV2	ISV3
$k_{1} = α_{k 1} μ (θ) {\bar{z}}_{1}$	$k_{2} = α_{k 2} μ (θ) {\bar{z}}_{2}$	$α = μ_{B} (θ) β$
${\dot{\bar{z}}}_{1} = h_{0} (1 - \frac{{\bar{z}}_{1}}{z *}) {\dot{γ}}^{p}$	${\dot{\bar{z}}}_{2} = h_{1} (λ^{p} - 1) (1 - \frac{{\bar{z}}_{2}}{z_{2 s a t} (θ)}) {\dot{γ}}^{p}$	$\dot{β} = R_{s} (θ) (D^{p}_{} β + β D^{p}_{})$
${\dot{z}}^{} = ({\bar{z}}_{s a t}^{} - g_{0} (θ) z^{*}) {\dot{γ}}^{p}$	${\bar{z}}_{2 s a t} (θ) = C_{11} (θ - θ_{r e f}) + C_{12}$	$μ_{B} (θ) = μ_{R} (θ) {(1 - \frac{t r (β) - 3}{λ_{L}})}^{- 1}$
${\bar{z}}_{s a t}^{*} (θ) = C_{7} (θ - θ_{r e f}) + C_{8}$		$μ_{R} (θ) = C_{1} (θ - θ_{r e f}) + C_{2}$
$g_{0} (θ) = C_{9} (θ - θ_{r e f}) + C_{10}$		$R_{s} (θ) = C_{13} (θ - θ_{r e f}) + C_{14}$
$z_{0}^{*} (θ) = C_{5} (θ - θ_{r e f}) + C_{6}$

流動則：
- ${\dot{F}}^{p} = D^{p} F^{p}$
- $D^{p} = \frac{1}{\sqrt{2}} {\dot{γ}}^{p} N^{p}$
- $N^{p} = \frac{d e v (M - α)}{‖ d e v (M - α) ‖}$
- ${\dot{γ}}^{p} = {\dot{γ}}_{0}^{p} e^{- \frac{Δ H}{k θ}} {[\sinh (\frac{τ_{e q} V}{k_{B} θ})]}^{m}$
- $τ_{e q} = τ - (Y (θ) + κ_{1} + κ_{2} + α_{p} \bar{π})$
- $Y (θ) = C_{3} (θ - θ_{r e f}) + C_{4}$
- $τ = \frac{1}{\sqrt{2}} ‖ d e v (M - α) ‖$

発熱（断熱条件下）

$c_{v} \dot{θ} = ω M : D^{p}$
$ρ (θ) = ρ (θ_{r e f}) \frac{1.42 θ_{g} + 44.7}{1.42 θ_{g} + 0.15 θ}$
$c_{v} = c_{v} (θ_{r e f}) (0.106 + 3 \times 10^{- 3} θ)$

ここで、

記法	説明	記法	説明
$α_{k 1}$	材料パラメータ	$D^{p}$	速度勾配の塑性成分
$α_{k 2}$	材料パラメータ	$E$	対数ひずみテンソル
$α$	内部せん断応力	$E_{r e f}$	参照温度におけるヤング率
$α_{p}$	圧力感度パラメータ	$E_{1}$	材料パラメータ
$β$	ISV3テンソル	$F$	変形勾配
${\dot{γ}}^{p}$	粘性流	$F^{e}$	の弾性成分 $F$
$ε^{n o m}$	公称ひずみ	$F^{p}$	の塑性成分 $F$
$ε^{t r u e}$	Henckyひずみ（真のひずみ）	$F^{θ}$	の熱成分 $F$
$η$	粘性	$g_{0}$	材料パラメータ
$θ$	温度	$Δ H$	アクティブ化エネルギー
$κ_{1}, κ_{2}$	エンタングルメント点によって誘導される内部応力場	$h_{0}$	硬化係数
$λ$	ストレッチ	$h_{1}$	硬化係数
$λ_{L}$	ネットワークロッキングストレッチ	$J$	のデターミナント $F$
$λ_{p}$	相当塑性ストレッチ	$K$	体積弾性率
$μ$	弾性せん断係数	$k_{B}$	ボルツマン定数
$μ_{B}$	内部せん断応力係数	$M$	Mandel応力
$μ_{R}$	ゴム係数	$m$	粘性流指数
$ν$	ポアソン比	$N^{p}$	粘性流の方向
$\bar{π}$	有効圧力	$R$	気体定数
$σ$	Cauchy応力（真の応力）	$R_{s}$	材料パラメータ
$τ$	相当せん断応力	$R, U$	の反対称、対称部分 $F$
$ψ$	自由エネルギー	$V$	アクティブ化体積
$ω$	変換係数	$Y$	降伏曲面
$C$	Cauchy-Greenテンソル	${\bar{z}}_{1}$	ISV1
$c_{v}$	熱容量	${\bar{z}}_{2}$	ISV2
$C_{1}, C_{2}, ..., C_{14}$	材料パラメータ	${\bar{z}}^{*}$	鎖の滑りのひずみ基準
$D$	速度勾配	${\bar{z}}_{s a t}^{*}$	の飽和値 ${\bar{z}}^{*}$

¹ Bouvard JL, Francis DK, Tschopp MA, Marin EB, Bammann DJ, Horstemeyer MF (2013) An internal state variable material model for predicting the time, thermomechanical, and stress state dependence of amorphous glassy polymers under large deformation.Int J Plast 42:168–193

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