LAW12とLAW14

弾性相

どちらの材料則も、弾性相で材料の直交異方性を記述するには、ヤング率、せん断係数、およびポアソン比（9パラメータ）が必要です。

(1)

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} ε_{11} ε_{22} ε_{33} γ_{12} γ_{23} γ_{31} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{E_{11}} & - \frac{ν_{12}}{E_{11}} & - \frac{ν_{31}}{E_{33}} & 0 & 0 & 0 \frac{1}{E_{22}} & - \frac{ν_{23}}{E_{22}} & 0 & 0 & 0 \frac{1}{E_{33}} & 0 & 0 & 0 \frac{1}{2 G_{12}} & 0 & 0 s y m m . & \frac{1}{2 G_{23}} & 0 \frac{1}{2 G_{31}} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ \cdot ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} σ_{11} σ_{22} σ_{33} σ_{12} σ_{23} σ_{31} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ γ_{12} \\ γ_{23} \\ γ_{31} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{11}} & - \frac{ν_{12}}{E_{11}} & - \frac{ν_{31}}{E_{33}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{E_{22}} & - \frac{ν_{23}}{E_{22}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{E_{33}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2 G_{12}} & 0 & 0 \\ s y m m . & \frac{1}{2 G_{23}} & 0 \\ \frac{1}{2 G_{31}} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{12} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \end{matrix}]$

応力損傷

損傷では、応力制限

σ_{t 1}, σ_{t 2} and σ_{t 3}

$σ_{t 1}, σ_{t 2} and σ_{t 3}$ （引張り / 圧縮）が要求されます。これらの応力制限は、関連する3つの方向での引張り試験で確認することができます。

応力制限に達すると、材料の損傷が始まります（応力は損傷パラメータ

δ

$δ$ により減少）。損傷（

D_{i} = D_{i} + δ

$D_{i} = D_{i} + δ$ ）がD=1に達すると、応力は0になります。

Tsai-Wu降伏基準

LAW12（3D_COMP）の場合、Tsai-Wu降伏基準は次のようになります：(2)

\begin{matrix} F (σ) = F_{1} σ_{1} + F_{2} σ_{2} + F_{3} σ_{3} + F_{11} σ_{1}^{2} + F_{22} σ_{2}^{2} + F_{33} σ_{3}^{2} + F_{44} σ_{12}^{2} + F_{55} σ_{23}^{2} + F_{66} σ_{31}^{2} + 2 F_{12} σ_{1} σ_{2} + 2 F_{23} σ_{2} σ_{3} + 2 F_{13} σ_{1} σ_{3} \end{matrix}

$\begin{array}{l} F (σ) = F_{1} σ_{1} + F_{2} σ_{2} + F_{3} σ_{3} + F_{11} σ_{1}^{2} + F_{22} σ_{2}^{2} + F_{33} σ_{3}^{2} + F_{44} σ_{12}^{2} + F_{55} σ_{23}^{2} \\ + F_{66} σ_{31}^{2} + 2 F_{12} σ_{1} σ_{2} + 2 F_{23} σ_{2} σ_{3} + 2 F_{13} σ_{1} σ_{3} \end{array}$

Tsai-Wu基準の12の係数は、以下の試験による降伏応力を使用して決まります：

引張り / 圧縮試験

縦方向引張り / 圧縮（方向1）：

図 5.
(3)
$F_{1} = - \frac{1}{σ_{1 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{1 y}^{t}}$ $F_{1} = - \frac{1}{σ_{1 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{1 y}^{t}}$
(4)
$F_{11} = \frac{1}{σ_{1 y}^{c} σ_{1 y}^{t}}$
横方向引張り / 圧縮（方向2）：

図 6.
(5)
$F_{2} = - \frac{1}{σ_{2 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{2 y}^{t}}$
(6)
$F_{22} = \frac{1}{σ_{2 y}^{c} σ_{2 y}^{t}}$
横方向引張り / 圧縮（方向3）：

図 7.
(7)
$F_{3} = - \frac{1}{σ_{3 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{3 y}^{t}}$
(8)
$F_{33} = \frac{1}{σ_{3 y}^{c} σ_{3 y}^{t}}$

これで、相互作用係数が次のように計算できます：(9)

$F_{12} = - \frac{1}{2} \sqrt{(F_{11} F_{22})}$

(10)

$F_{23} = - \frac{1}{2} \sqrt{(F_{22} F_{33})}$

(11)

$F_{13} = - \frac{1}{2} \sqrt{(F_{11} F_{33})}$

せん断試験

平面1-2でのせん断試験：

図 8.
$σ_{12 y}^{t}$ および $σ_{12 y}^{c}$ は以下のサンプル試験の結果であり得る：

図 9.
(12)
$F_{44} = \frac{1}{σ_{12 y}^{c} σ_{12 y}^{t}}$
平面1-3でのせん断

図 10.
$σ_{31 y}^{t}$ および $σ_{31 y}^{c}$ は以下のサンプル試験の結果であり得る：

図 11.
(13)
$F_{66} = \frac{1}{σ_{31 y}^{c} σ_{31 y}^{t}}$
平面2-3でのせん断：

図 12.
(14)
$F_{55} = \frac{1}{σ_{23 y}^{c} σ_{23 y}^{t}}$

Tsai-Wu基準の計算には、LAW12およびLAW14の以下に示すパラメータが要求されます：

Tsai-Wuの降伏曲面は、 $F (σ) = 1$ です。 $(F (σ) \leq 1)$ である限り、材料は弾性相にあります。 $(F (σ) > 1)$ になると降伏曲面を超え、材料は非線形相となります。

これら2つの材料則では、降伏曲面には次の係数も考慮する場合があります。

塑性仕事 $W_{p}$ とパラメータBおよびn
ひずみ速度 $\dot{ε}$ とパラメータ ${\dot{ε}}_{0}$ およびc (15)
$F (W_{p}, \dot{ε}) = (1 + B W_{p}^{n}) (1 + c \ln \frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{o}})$

これで、降伏曲面は

$F (σ) = F (W_{p}, \dot{ε})$ となります。

右記の場合、材料は弾性相になります； $F (σ) \leq F (W_{p}, \dot{ε})$
右記の場合、材料は非線形相になります； $F (σ) > F (W_{p}, \dot{ε})$

この降伏曲面 $F (W_{p}, \dot{ε})$ は、 $f_{\max}$ （ $F (W_{p}, \dot{ε}) \leq f_{\max}$ ）によって制限されます。ここで、 $f_{\max}$ はTsai-Wu基準制限の最大値です。

$f_{\max} = {(\frac{σ_{\max}}{σ_{y}})}^{2}$

パラメータB、n、cおよび

${\dot{ε}}_{0}$ により、降伏曲面は1～

$f_{\max}$ となります。